2 Fonctions continues
=====================

2.1 Définition et exemples
--------------------------

| L’idée de continuité est déjà présente dans le langage courant. Par
  exemple, on dira que la température d’une pièce (qui n’est chauffée
  que durant la journée) évolue de façon continue au cours du temps. Sa
  température est plus basse durant la nuit que durant la journée, mais
  elle ne passe subitement d’une température basse à une température
  élevée : la température évolue progressivement et continuement.
| On peut donner de nombreux autres exemples de phénomènes continus :
  les déplacements, la vitesse, l’accélération, le son... En fait, la
  supposition que tous les phénomènes naturels sont continus est souvent
  une supposition implicite de notre vie de tous les jours et de la
  physique classique. Puisque nous avons le réflexe intuitif de
  formaliser tous ces phénomènes de la nature sous la forme de processus
  continus, il est pertinent de s’intéresser à cette formalisation que
  sont les fonctions continues.
| De plus, les fonctions continues ont un intérêt mathématique non
  négligeable et nous permettront d’introduire l’idée de limite de
  fonction.

**Définition 2.1.1.**  Soit :math:`I` un intervalle éventuellement privé d’un point. Soit 
:math:`f : I \to \mathbb{R}`.

  On dit que :math:`f` est une fonction continue en :math:`c \in I` si
  et seulement si pour tout :math:`\epsilon > 0`, il existe
  :math:`\delta > 0` tel que pour tout :math:`x \in I` tel que
  :math:`|x-c| < \delta`, on a :math:`|f(x) - f(c)| < \epsilon`.

**Remarque 2.1.2.** Cette définition, assez technique, ne doit pas vous faire peur. Une
lecture intuitive de cette définition est la suivante : si un
processus :math:`f` qui dépend d’une variable :math:`x` est continu
autour d’une certaine valeur de :math:`x` qui vaut :math:`c`, alors je
dois pouvoir approcher les valeurs de :math:`f(c)` autant que je le
souhaite si je suis capable d’approcher la valeur de :math:`c` autant
que nécessaire.
Il est recommandé d’appliquer cette définition sur les deux exemples
suivants afin d’analyser celle-ci en profondeur et comprendre en quoi
elle formalise l’idée intutive de continuité.

| 

**Exemple 2.1.3.**

.. tikz:: 

      \draw[step=1cm,gray,very thin] (-5,-5) grid (5,5);

      \draw[very thick,->] (-5,0) -- (6,0) node[anchor=south west] {x};
		\draw[very thick,->] (0,-5) -- (0,6) node[anchor=south west] {y};

      \foreach \x in {1}
		\draw (\x cm,1pt) -- (\x cm,-1pt) node[anchor=north] {$\x$};

      \foreach \y in {1}
		\draw (1pt,\y cm) -- (-1pt,\y cm) node[anchor=east] {$\y$};

		\draw[thick] plot[domain=-4:3](\x,{((\x)*(\x)*(1/2)-4});
		\draw (-4,4)node{$\bullet$};
		\draw (3,0.5)node{$\bullet$};

|  
| Voici le graphe d’une fonction continue en :math:`-2` définie sur
  :math:`[-4,3]`. En effet, quelle que soit l’erreur maximale autorisée
  :math:`\epsilon >0`, quitte à sélectionner des valeurs pour :math:`x`
  assez proche de :math:`-2` (à une distance de :math:`-2` d’au plus
  :math:`\delta >0`), les valeurs :math:`f(x)` approcheront bien la
  valeur :math:`f(-2)` avec une erreur plus petite ou égale à
  :math:`\epsilon`.
| Géométriquement, cela correspond au fait qu’il n’y a pas de saut
  vertical en :math:`-2` et que le graphe peut être réalisé d’un seul
  trait.

**Exemple 2.1.4.**

.. tikz:: 

      \draw[step=1cm,gray,very thin] (-5,-5) grid (5,5);

      \draw[very thick,->] (-5,0) -- (6,0) node[anchor=south west] {x};
		\draw[very thick,->] (0,-5) -- (0,6) node[anchor=south west] {y};

      \foreach \x in {1}
		\draw (\x cm,1pt) -- (\x cm,-1pt) node[anchor=north] {$\x$};

      \foreach \y in {1}
		\draw (1pt,\y cm) -- (-1pt,\y cm) node[anchor=east] {$\y$};
		\draw[thick] plot[domain=-4:-2](\x,{((\x)*(\x)*(1/2)-4});
		\draw[thick] plot[domain=-2:3](\x,{((\x)*(\x)*(1/2)-1});
		\draw (-4,4)node{$\bullet$};
		\draw (3,3.5)node{$\bullet$};
		\draw (-2,1)node{$\bullet$};
		\draw[thick, fill=white](-2,-2)circle(0.1);

|  
| Voici le graphe d’une fonction discontinue en :math:`-2` définie sur
  :math:`[-4,3]`. En effet, en prenant comme erreur maximale autorisée
  :math:`\epsilon =1`, il est impossible de trouver un :math:`\delta >0`
  tel qu’à toutes les valeurs de :math:`x` possibles à une distance au
  plus :math:`\delta` de :math:`-2`, la fonction :math:`f` associera un
  nombre :math:`f(x)` dont la distance avec :math:`f(-2)` est plus
  petite que :math:`1`. La raison étant que juste à gauche de :math:`-2`
  , la fonction prend des valeurs strictement négative alors que
  :math:`f(-2)=1`.
| Géométriquement, cela correspond au fait qu’il y a un saut vertical en
  :math:`-2` et que le graphe ne peut pas être réalisé d’un seul trait.

**Remarque 2.1.5.** Une caractérisation intuitive des graphes de fonctions continues est
qu’il s’agit des fonctions dont le graphe peut être tracé d’un seul
trait. Néanmoins, celle-ci est imprécise et peut mener à des erreurs,
puisque la continuité ne concerne que les sauts dans les valeurs d’une
fonction (autrement dit : les sauts verticaux dans le graphe de la
fonction) et non son domaine de définition (les sauts horizontaux dans
le graphe de la fonction).
Permettons-nous d’insister : il ne fait pas sens de parler de
continuité d’une fonction en un point où elle n’est pas définie !
Par exemple, la fonction inverse :

.. tikz:: 

    \draw[step=1cm,gray,very thin] (-5,-5) grid (5,5);

    \draw[very thick,->] (-5,0) -- (6,0) node[anchor=south west] {x};
  \draw[very thick,->] (0,-5) -- (0,6) node[anchor=south west] {y};

    \foreach \x in {1}
  \draw (\x cm,1pt) -- (\x cm,-1pt) node[anchor=north] {$\x$};

    \foreach \y in {1}
  \draw (1pt,\y cm) -- (-1pt,\y cm) node[anchor=east] {$\y$};
  \draw[thick] plot[domain=-5:-0.2](\x,{1/(\x)});
  \draw[thick] plot[domain=0.2:5](\x,{1/(\x)});

Cette fonction est bien partout continue ! Il ne fait pas sens
d’affirmer qu’elle est discontinue en :math:`0`, puisqu’elle n’est même
pas définie en :math:`0`.

| 

**Définition 2.1.6.** Soit :math:`I` un intervalle éventuellement privé d’un point. Soit :math:`f : I \to \mathbb{R}`.

  On dit que :math:`f` est une fonction continue si elle est continue en
  tous les points de son domaine de définition.

| 

**Exercice 2.1.7.** Donner le domaine de définition des fonctions dont les graphes sont les
suivants, puis déterminer si elles sont continues ou non. Si elles ne
sont pas continues, donner l’ensemble des points où elles sont
discontinues.

.. inginious:: cont1_1
.. inginious:: cont1_2
.. inginious:: cont1_3
.. inginious:: cont1_4
.. inginious:: cont1_5
.. inginious:: cont1_6
.. inginious:: cont1_7
.. inginious:: cont1_8
.. inginious:: cont1_9
.. inginious:: cont1_10

| 

2.2 Continuité des fonctions de référence
-----------------------------------------

| Les fonctions de référence servent de briques de base pour construire
  des fonctions plus complexes. Il serait intéressant de déterminer si
  les fonctions de références sont continues et si les fonctions créées
  à partir de celles-ci héritent de cette propriété.
| Pour commencer, nous avons le théorème :

**Théorème 2.2.1.** Toutes les fonctions de référence sont continues.

*Démonstration* Pas en math 4. [1]_

**Remarque 2.2.2.** De toutes les fonctions de référence, seule la fonction inverse n’a pas
un graphe qui peut être tracé d’un seul trait . À nouveau, il s’agit
dans ce cas d’une question de domaine (la fonction inverse n’est pas
définie en :math:`0` puisqu’il ne fait pas sens de diviser par
:math:`0`) et non de continuité.

| 

**Exemple 2.2.3.** Par exemple, la fonction racine cubique est continue :

.. tikz:: 

      \draw[step=1cm,gray,very thin] (-5,-5) grid (5,5);

      \draw[very thick,->] (-5,0) -- (6,0) node[anchor=south west] {x};
		\draw[very thick,->] (0,-5) -- (0,6) node[anchor=south west] {y};

      \foreach \x in {1}
		\draw (\x cm,1pt) -- (\x cm,-1pt) node[anchor=north] {$\x$};

      \foreach \y in {1}
		\draw (1pt,\y cm) -- (-1pt,\y cm) node[anchor=east] {$\y$};
		\draw[thick] plot[domain=0.01:5,samples=1000](\x,{(\x)^(1/3)});
		\draw[thick] plot[domain=-5:-0.01,samples=1000](\x,{-(abs(\x))^(1/3)});

| 

2.3 Propriétés des fonctions continues
--------------------------------------

Commençons avec un exemple :

**Exemple 2.3.1.** Considérons les deux fonctions :

.. math::

   \begin{aligned}
       f : [1,3] &\to \mathbb{R}\\
       x &\mapsto (x-2)^2 - 1
       \end{aligned}

et

.. math::

   \begin{aligned}
       g : [1,3] &\to \mathbb{R}\\
       x &\mapsto -\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}
       \end{aligned}

dont les graphes sont les suivants :

.. tikz:: 

      \draw[step=1cm,gray,very thin] (-5,-5) grid (5,5);

      \draw[very thick,->] (-5,0) -- (6,0) node[anchor=south west] {x};
		\draw[very thick,->] (0,-5) -- (0,6) node[anchor=south west] {y};

      \foreach \x in {1}
		\draw (\x cm,1pt) -- (\x cm,-1pt) node[anchor=north] {$\x$};

      \foreach \y in {1}
		\draw (1pt,\y cm) -- (-1pt,\y cm) node[anchor=east] {$\y$};
		\draw[thick,blue] plot[domain=1:3](\x,{-1+2*(\x-2)^(2)});
		\draw[thick,red] plot[domain=1:3](\x,{1.5-(0.5)*(\x)});

| Ces deux fonctions sont continues : leurs graphes peuvent être tracés
  d’un seul trait, il n’y a pas de saut vertical.
| Que se passe-t-il si on additionne ces deux fonctions, autrement dit
  si on considère la fonction :math:`f+g` ? Au niveau des graphes, cela
  revient à additionner les ordonnées des points des graphes de
  :math:`f` et :math:`g` qui ont la même abscisse.

.. tikz:: 

      \draw[step=1cm,gray,very thin] (-5,-5) grid (5,5);

      \draw[very thick,->] (-5,0) -- (6,0) node[anchor=south west] {x};
		\draw[very thick,->] (0,-5) -- (0,6) node[anchor=south west] {y};

      \foreach \x in {1}
		\draw (\x cm,1pt) -- (\x cm,-1pt) node[anchor=north] {$\x$};

      \foreach \y in {1}
		\draw (1pt,\y cm) -- (-1pt,\y cm) node[anchor=east] {$\y$};
		\draw[thick] plot[domain=1:3](\x,{-1+2*(\x-2)^(2)+1.5-(0.5)*(\x)});

Sans surprise, aucune discontinuité n’est apparue. En additionnant deux
fonctions continues, on a obtenu une nouvelle fonction continue. Ce
n’est pas un hasard, comme l’indique la proposition suivante.

| 

**Proposition 2.3.2.** Soit :math:`I` un intervalle éventuellement privé d’un point. Soient
:math:`f : I \to \mathbb{R}` et :math:`g : I \to \mathbb{R}` deux
fonctions continues. Alors :

#. La fonction :math:`f+g : I \to \mathbb{R}` est continue.

#. La fonction :math:`f-g : I \to \mathbb{R}` est continue.

#. La fonction :math:`f.g : I \to \mathbb{R}` est continue.

#. La fonction
   :math:`\frac{f}{g} : \{x \in I ~|~ g(x) \neq 0\} \to \mathbb{R}` est
   continue.

*Démonstration* Pas en math 4. Voir annexe pour les curieux.

De manière éventuellement plus surprenante, la composée de deux
fonctions continues (compatibles) est également toujours une fonction
continue :

**Proposition 2.3.3.** Soit :math:`I,J` deux intervalles. Soient
:math:`f : I \to \mathbb{R}` et :math:`g : J \to \mathbb{R}` deux
fonctions continues telle que
:math:`\mathop{\mathrm{im}}(g) \subseteq I`. Alors :
:math:`f \circ g : J \to \mathbb{R}` est continue.

*Démonstration* Pas en math 4.

Une dernière opération qui conserve la continuité est la **restriction** :

**Définition 2.3.4.** Soit :math:`I` un intervalle éventuellement privé d’un point. Soit
:math:`f : I \to \mathbb{R}`.
Soit :math:`A \subseteq I`. Alors la **restriction** de :math:`f` sur
:math:`A` est la fonction :

  .. math::

     \begin{aligned}
         f_{|A} : A &\to \mathbb{R}\\
         x &\mapsto f(x)
         \end{aligned}

| 

**Exemple 2.3.5.** Soit la fonction :

  .. math::

    \begin{aligned}
        f : [-4,3] &\to \mathbb{R}\\
        x &\mapsto x+1
        \end{aligned}

dont le graphe est :

.. tikz:: 

      \draw[step=1cm,gray,very thin] (-5,-5) grid (5,5);

      \draw[very thick,->] (-5,0) -- (6,0) node[anchor=south west] {x};
		\draw[very thick,->] (0,-5) -- (0,6) node[anchor=south west] {y};

      \foreach \x in {1}
		\draw (\x cm,1pt) -- (\x cm,-1pt) node[anchor=north] {$\x$};

      \foreach \y in {1}
		\draw (1pt,\y cm) -- (-1pt,\y cm) node[anchor=east] {$\y$};
		\draw[thick] plot[domain=-4:3](\x,{1+ \x });

La restriction de :math:`f` sur, par exemple,
:math:`[-4,-3[ \cup \{-2\} \cup [-1,1]`, est la fonction :

.. math::

   \begin{aligned}
       f_{[-4,-3[ \cup \{-2\} \cup [-1,1]} : [-4,-3[ \cup \{-2\} \cup [-1,1] &\to \mathbb{R}\\
       x &\mapsto x+1
       \end{aligned}

et son graphe est :

.. tikz:: 

      \draw[step=1cm,gray,very thin] (-5,-5) grid (5,5);

      \draw[very thick,->] (-5,0) -- (6,0) node[anchor=south west] {x};
		\draw[very thick,->] (0,-5) -- (0,6) node[anchor=south west] {y};

      \foreach \x in {1}
		\draw (\x cm,1pt) -- (\x cm,-1pt) node[anchor=north] {$\x$};

      \foreach \y in {1}
		\draw (1pt,\y cm) -- (-1pt,\y cm) node[anchor=east] {$\y$};
		\draw (-4,-3)node{$\bullet$};
		\draw[thick] plot[domain=-4:-3.1](\x,{1+(\x)});
		\draw (-2,-1)node{$\bullet$};
		\draw[thick, fill=white](-3,-2)circle(0.2);
		\draw (-1,0)node{$\bullet$};
		\draw[thick] plot[domain=-1:1](\x,{1+(\x)});
		\draw (1,2)node{$\bullet$};

| 

Comme annoncé, la restriction d’une fonction continue est toujours
continue :

**Proposition 2.3.6.** Soit :math:`I` un intervalle éventuellement privé d’un point.
Soit :math:`f : I \to \mathbb{R}` une fonction continue. Soit
:math:`A \subseteq I`.
Alors la *restriction* de :math:`f` sur :math:`A` est continue.

*Démonstration* Pas en math 4. Notons néanmoins que la démonstration est extrêment
simple.

Grâce au théorème 2.2.1, nous savons que toutes les
fonctions de référence sont continues. 
Or, les propositions
2.3.2, 2.3.3 et 2.3.6 nous disent que
lorsqu’on combine deux fonctions continues selon une des opérations
sur les fonctions les plus simples, nous pouvons être certains que le
résultat est lui aussi une fonction continue. 
Ainsi, nous sommes à
présent capables de justifier la continuité de nombreuses fonctions.  

| 

**Exercice 2.3.7.** Les fonctions suivantes sont-elles continues ? Si oui, justifier. Si
non, faire le graphe de la fonction et donner l’ensemble des points de
discontinuité.

.. inginious:: cont2_1
.. inginious:: cont2_2
.. inginious:: cont2_3
.. inginious:: cont2_4
.. inginious:: cont2_5
.. inginious:: cont2_6
.. inginious:: cont2_7
.. inginious:: cont2_8

| 

2.4 Grands théorèmes des fonctions continues (optionnel)
--------------------------------------------------------

| Dans cette section, nous allons lister les grands résultats associés
  aux fonctions continues.
| Le premier est assez intuitif. Pour reprendre l’exemple de
  l’introduction de la température dans une pièce, si on suppose que la
  température de la pièce était de :math:`10\degree` à minuit et
  qu’elle est de :math:`20\degree` à midi et qu’on choisit une
  température en :math:`10\degree` et :math:`20\degree`, par exemple
  :math:`15\degree`, on est intuitivement convaincu qu’il y a eu au
  moins un court instant dans la matinée où la température de la pièce
  était de :math:`15\degree` (puisque le phénomène est continu, on doit
  bien passer par toutes les valeurs intermédiaires entre
  :math:`10\degree` et :math:`20\degree` pour passer de
  :math:`10\degree` à :math:`20\degree`). Cette intuition est
  formalisée par le théorème suivant :

**Théorème 2.4.1** (Théorème des valeurs intermédiaires). Soit :math:`I` un intervalle de la forme :math:`I=[a,b]`. Soit
:math:`f : I \to \mathbb{R}` une fonction continue.
Pour tout :math:`y \in \mathbb{R}` compris entre :math:`f(a)` et
:math:`f(b)`, il existe :math:`x \in I` tel que :math:`f(x) = y`.

*Démonstration* Pas en math 4. [2]_

| 

**Exemple 2.4.2.** Considérons la fonction suivante qui est la restriction de la fonction
carrée sur :math:`[0,2]`.

.. tikz:: 

      \draw[step=1cm,gray,very thin] (-5,-5) grid (5,5);

      \draw[very thick,->] (-5,0) -- (6,0) node[anchor=south west] {x};
		\draw[very thick,->] (0,-5) -- (0,6) node[anchor=south west] {y};

      \foreach \x in {1}
		\draw (\x cm,1pt) -- (\x cm,-1pt) node[anchor=north] {$\x$};

      \foreach \y in {1}
		\draw (1pt,\y cm) -- (-1pt,\y cm) node[anchor=east] {$\y$};
		\draw[thick] plot[domain=0:2](\x,{(\x)^(2)});

Puisque cette fonction est continue, :math:`f(0)=0`, :math:`f(2)=4` et
:math:`0 \le \pi \le 4`, on peut être certain qu’il existe une abscisse
:math:`x` entre :math:`0` et :math:`2` telle que la valeur de cette
fonction en :math:`x` vaut exactement :math:`\pi` (dans ce cas-ci, il
est possible de déterminer ce :math:`x` (qui est ici unique) :
:math:`\sqrt{\pi}`).

**Remarque 2.4.3.** Le théorème n’affirme pas que l’abscisse :math:`x` telle que
:math:`f(x) = y` est unique ! Comme le montre l’exemple suivant (où on
choisit pour :math:`y` l’ordonnée :math:`0`, qui se trouve entre
:math:`f(-4)=-3` et :math:`f(4)=3`), il peut y avoir plusieurs abscisses
de cette sorte :

.. tikz:: 

      \draw[step=1cm,gray,very thin] (-5,-5) grid (5,5);

      \draw[very thick,->] (-5,0) -- (6,0) node[anchor=south west] {x};
		\draw[very thick,->] (0,-5) -- (0,6) node[anchor=south west] {y};

      \foreach \x in {1}
		\draw (\x cm,1pt) -- (\x cm,-1pt) node[anchor=north] {$\x$};

      \foreach \y in {1}
		\draw (1pt,\y cm) -- (-1pt,\y cm) node[anchor=east] {$\y$};
		\draw[thick] plot[domain=-4:4](\x,{(1/16)*(\x-2)*(\x)*(\x+2)});
		\draw (4,3)node{$\bullet$};
		\draw (-4,-3)node{$\bullet$};

La fonction vaut :math:`0` en :math:`-2`, en :math:`0` et en :math:`2`.

| Le théorème des valeurs intermédiaires a de nombreuses applications et
  pas seulement des applications purement théoriques. Il permet par
  exemple de justifier la validité d’une solution à un problème
  relativement courant dans la vie de tous les jours : une table
  bancale.
| Nous renvoyons vers cette vidéo de l’excellente chaîne youtube
  *Numberphile* de vulgarisation mathématique pour plus de détails à ce
  sujet : https://www.youtube.com/watch?v=OuF-WB7mD6k. 
  À présent, donnons l’autre fameux théorème concernant les fonctions continues :

| 

**Théorème 2.4.4.** Soit :math:`I` un intervalle de la forme :math:`I=[a,b]`. Soit
:math:`f : I \to \mathbb{R}` une fonction continue.
:math:`f` est nécessairement bornée et atteint ses bornes, autrement
dit :math:`f` a un point de minimum et un point de maximum.

*Démonstration* Pas en math 4. [3]_

**Remarque 2.4.5.** Dans le prochain chapitre, nous nous intéresserons beaucoup aux (points
de) minimum et maximum d’une fonction. Ce théorème des bornes atteintes
nous dit que pour une fonction continue définie sur un intervalle fermé,
nous pouvons être certain qu’un point de minimum et qu’un point de
maximum existe, mais il ne nous dit pas comment les trouver.

**Remarque 2.4.6.** La fonction dont le graphe est ci-dessous est définie sur un intervalle
de la forme :math:`[a;b]` et est continue :

.. tikz:: 

      \draw[step=1cm,gray,very thin] (-5,-5) grid (5,5);

      \draw[very thick,->] (-5,0) -- (6,0) node[anchor=south west] {x};
		\draw[very thick,->] (0,-5) -- (0,6) node[anchor=south west] {y};

      \foreach \x in {1}
		\draw (\x cm,1pt) -- (\x cm,-1pt) node[anchor=north] {$\x$};

      \foreach \y in {1}
		\draw (1pt,\y cm) -- (-1pt,\y cm) node[anchor=east] {$\y$};
		\draw[thick, samples=50] plot[domain=-2:2](\x,{(15/16)*(\x-2)*(\x)*(\x+2)});
		\draw (2,0)node{$\bullet$};
		\draw (-2,-0)node{$\bullet$};

Il s’agit de la fonction :

.. math::

   \begin{aligned}
       f : [-2;2] &\to \mathbb{R}\\
       x &\mapsto \frac{15}{16}.(x-2).(x).(x+2)
       \end{aligned}

Nous serions bien incapables (à ce stade) de déterminer quel est le
(point de) maximum et le (point de) minimum de cette fonction, mais nous
sommes certains que ceux-ci existent bel et bien (visuellement, on les
identifie immédiatement sans pour autant être capable de les déterminer
exactement).

.. _procont:

| 

2.5 Prolongements continus
--------------------------

**Exemple 2.5.1.** Voici le graphe d’une fonction définie sur
:math:`[-4;4] \backslash \{1\}` qui est continue :

.. tikz:: 

      \draw[step=1cm,gray,very thin] (-5,-5) grid (5,5);

      \draw[very thick,->] (-5,0) -- (6,0) node[anchor=south west] {x};
		\draw[very thick,->] (0,-5) -- (0,6) node[anchor=south west] {y};

      \foreach \x in {1}
		\draw (\x cm,1pt) -- (\x cm,-1pt) node[anchor=north] {$\x$};

      \foreach \y in {1}
		\draw (1pt,\y cm) -- (-1pt,\y cm) node[anchor=east] {$\y$};
			\draw (-4,-2.2)node{$\bullet$};
			\draw[thick] plot[domain=-4:0.93,samples=50](\x,{-2.2-0.1*\x*(\x-2)*(\x+1)*sin(90*\x)});
			\draw[thick, fill=white](1,-2)circle(0.176);
			\draw[thick, fill=white](1,1)circle(0.176);
			\draw[thick] plot[domain=1.13:4,samples=50](\x,{0.8-0.1*\x*(\x-2)*(\x+1)*sin(90*\x)});
			\draw (4,0.8)node{$\bullet$};

Il ne fait pas sens de dire qu’elle est discontinue (ou continue) en
:math:`1` puisqu’elle n’est pas définie en :math:`1`.

| 

**Exemple 2.5.2.** Voici le graphe d’une autre fonction définie sur
:math:`[-4;4] \backslash \{1\}` qui est continue :

.. tikz:: 

      \draw[step=1cm,gray,very thin] (-5,-5) grid (5,5);

      \draw[very thick,->] (-5,0) -- (6,0) node[anchor=south west] {x};
		\draw[very thick,->] (0,-5) -- (0,6) node[anchor=south west] {y};

      \foreach \x in {1}
		\draw (\x cm,1pt) -- (\x cm,-1pt) node[anchor=north] {$\x$};

      \foreach \y in {1}
		\draw (1pt,\y cm) -- (-1pt,\y cm) node[anchor=east] {$\y$};
			\draw (-4,-2.2)node{$\bullet$};
			\draw[thick] plot[domain=-4:0.93,samples=50](\x,{-2.2-0.1*\x*(\x-2)*(\x+1)*sin(90*\x)});
			\draw[thick, fill=white](1,-2)circle(0.176);
			\draw[thick] plot[domain=1.13:4,samples=50](\x,{-2.2-0.1*\x*(\x-2)*(\x+1)*sin(90*\x)});
			\draw (4,-2.2)node{$\bullet$};

Il ne fait pas sens de dire qu’elle est continue (ou discontinue) en
:math:`1` puisqu’elle n’est pas définie en :math:`1`.

|  
| Dans les deux cas, nous avons une fonction continue. Néanmoins,
  intuitivement, il y a une différence de ces deux situations. Pour la
  première fonction, il n’est pas possible de la prolonger en une
  fonction continue, c’est-à-dire d’étendre la fonction en la
  définissant en :math:`1` de sorte que le résultat final soit continu,
  même en :math:`1`. Par contre, pour la deuxième fonction, il est
  possible de trouver un tel prolongement continu : il suffit d’étendre
  la fonction en la définissant en :math:`1` en décidant que le
  prolongement de la fonction vaut :math:`-2` en :math:`1`. Cette
  intuition correspond au fait que la deuxième fonction possède un
  prolongement continu tandis que la première non.
| Donnons la définition de prolongement continu d’une fonction.

| 

**Définition 2.5.3.** Soit un intervalle :math:`I` et soit :math:`c \in I`. Soit :math:`f : I \backslash \{c\} \to \mathbb{R}`.

  Un *prolongement continu* de :math:`f` sur :math:`I` est une fonction
  :math:`g : I \to \mathbb{R}` qui est continue (y compris en :math:`c`)
  et telle que pour tout :math:`x \in I \backslash \{c\}`, on a
  :math:`g(x)=f(x)`.

| 

**Exemple 2.5.4.** La fonction de l’exemple 2.5.1 ne possède pas de
prolongement continu. Par contre, la fonction de l’exemple
2.5.2 possède un prolongement continu dont le graphe
est le suivant :

.. tikz:: 

      \draw[step=1cm,gray,very thin] (-5,-5) grid (5,5);

      \draw[very thick,->] (-5,0) -- (6,0) node[anchor=south west] {x};
		\draw[very thick,->] (0,-5) -- (0,6) node[anchor=south west] {y};

      \foreach \x in {1}
		\draw (\x cm,1pt) -- (\x cm,-1pt) node[anchor=north] {$\x$};

      \foreach \y in {1}
		\draw (1pt,\y cm) -- (-1pt,\y cm) node[anchor=east] {$\y$};
			\draw (-4,-2.2)node{$\bullet$};
			\draw[thick] plot[domain=-4:4,samples=100](\x,{-2.2-0.1*\x*(\x-2)*(\x+1)*sin(90*\x)});
			\draw (4,-2.2)node{$\bullet$};

Dans le cas de cet exemple, puisque nous possédions déjà le graphe de la
fonction, ce prolongement continu n’était pas très difficile à trouver.

|  
| Mais plus généralement, comment savoir si pour une fonction
  :math:`f : I \backslash \{c\} \to \mathbb{R}` (où :math:`I` est un
  intervalle et :math:`c \in I`) donnée, cette fonction admet un
  prologement continu ? Intuitivement, il n’est pas très difficle de
  répondre à cette question : il faut que la fonction :math:`f` se
  rapproche d’une certaine valeur lorsqu’on se rapproche de :math:`c`,
  et ce de manière uniforme (il faut que la valeur de laquelle :math:`f`
  se rapproche par la gauche soit la même que celle de laquelle
  :math:`f` se rapproche par la droite ). Néanmoins, cette réponse
  intuitive soulève au moins trois questions.

#. Que signifie rigoureusement que la fonction :math:`f` se rapproche
   d’une valeur lorsqu’on se rapproche de :math:`c` ?

#. Comment savoir si la fonction :math:`f` se rapproche bien d’une
   certaine valeur de manière uniforme et définitive lorsqu’on se
   rapproche de :math:`c` ?

#. Si :math:`f` se rapproche bien d’une certaine valeur de manière
   uniforme et définitive lorsqu’on se rapproche de :math:`c`, comment
   calculer cette valeur ?

Pour répondre à ces questions, nous avons besoin d’une nouvelle notion :
celle de limite de fonction.

| 


.. [1]
   Remarque : pour la plupart des fonctions de référence, la
   démonstration n’est pas très compliquée. N’hésitez pas à essayer de
   faire vous-même la preuve par exemple pour une fonction constante ou
   pour la fonction identité.

.. [2]
   La démonstration de ce théorème est en fait assez compliquée et
   nécessite de bien comprendre les propriétés fondamentales des nombres
   réels. Heureusement, son énoncé est très intuitif.

.. [3]
   La démonstration de ce théorème est aussi assez compliquée.